Approximative Inverse

Hinter dem Begriff Approximative Inverse steht ein Konzept zur Entwicklung effizienter Algorithmen zur Lösung inverser Probleme. Die grundlegende Idee ist hierbei, statt der exakten Lösung f des Problems

eine approximative Lösung zu berechnen. Dabei sei A ein Operator zwischen Hilberträumen.
Eine zentrale Rolle in dieser Theorie spielen der sogenannte Mollifier und der Rekonstruktionskern . Zur Konstruktion eines Verfahrens zur Berechnung einer approximativen Inversen, wählen wir uns eine Funktion und berechnen als Lösung der Gleichung

Mit dem zu A adjungierten Operator . Die approximative Lösung zu dem gewählten Mollifier erhalten wir dann duch die Anwendung des Rekonstruktionskernes auf die rechte Seite g:

Wählen wir zum Beispiel , die Delta-Distribution, so erhalten wir als approximative Lösung gerade die exakte Lösung , sofern alle auftretenden Gleichungen eindeutig lösbar sind. Bei anderer Wahl von erhalten wir die approximative Lösung:

Insbesondere vor dem Hintergrund der Problematik inverser Probleme müssen wir bei der Wahl eines geeigneten Mollifiers die folgenden (konkurrierenden) Ziele verfolgen:

1. Eine eindeutige Lösung soll existieren und stabil berechenbar sein.
2. Der Abstand soll möglichst klein sein.
3. Die Berechnung soll möglichst schnell und speicherplatzsparend möglich sein.

Weitere Informationen sind Post-Script File hier erhältlich (355 kByte):