Inverse Probleme

Ein inverses Problem tritt zum Beispiel bei der Computer Tomographie auf: Die Aufgabe besteht darin, aus der Abschwächung von Röntgenstrahlen, die ein Objekt durchdringen, die Dichteverteilung innerhalb des Objekts zu rekonstruieren, und auf dem Computerbildschirm darzustellen.

Abstrakt formuliert, haben wir hier ein physikalisches System A, das die Dichteverteilung f des Objekts in die Meßdaten g umwandelt. Wir fassen nun f als eine Funktion auf:

die jedem Ort die Dichte zuordnet. Ebenso verfahren wir mit g :

den zur Richtung gehörenden Meßdatenßdaten am Detektorpunkt y. Der Operator A beschreibt das physikalische System, das die Abschwächung des Röntgenstrahls beim Durchdringen des Objekts modelliert (Es handelt sich dabei um die Radon-Transformation).

mit der Delta-Distribution . Das heißt, wir kennen A; die Meßdaten g liegen uns nach der Messung vor. Gesucht ist nun f, so daß

Ein solches Problem heißt inverses Problem; es besteht darin, aus indirekten Beobachtungen des Objekts, auf dessen physikalische Eigenschaften zurückzuschließen. Das zugehörige direkte Problem würde heißen: Berechne zu einer vorgegebenen Dichteverteilung f die zugehörigen Meßdaten g:

Bei vielen relevanten Anwendungen, wie auch bei der Computer-Tomographie, kann A als eine lineare Abbildung zwischen Funktionenräumen angesehen werden. Diese Abbildung hat im Falle inverser Probleme die Eigenschaft, daß ihre Inverse im allgemeinen unstetig ist. Für die Praxis bedeutet dies, daß sich die Lösung

nicht stabil berechnen läßt.

Neben den klassischen Regularisierungsverfahren läßt sich hier die Approximative Inverse einsetzen. Die Approximative Inverse ist ein neues theoretisches Konzept, mit dem man diesen und ähnlichen inversen Problemen begegnen kann.

Beispiele für das Auftreten inverser Probleme

Überprüfung von Klebstellen in Ventilen im Automobilbau
Untersuchung von Katalysatoren auf Ablagerungen
Erkennung von Defekten in Schweißnähten

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